O uso de juntas unidas por adesão, empregadas com materiais metálicos, compósitos e cerâmicos, é de grande interesse de muitos setores industriais, incluindo o aeroespacial, automotivo, naval, de máquinas-ferramenta, embalagens e eletrodomésticos. O amplo uso dessas juntas ocorre devido à facilidade de sua aplicação e à economia de tempo e custos que elas proporcionam, bem como de sua alta resistência à corrosão e fadiga, retardamento da propagação de trincas e boas características de amortecimento^(1-3).

Qualquer junta é projetada para suportar um dado conjunto de cargas. A maioria das peças unidas por adesão é submetida a cargas de tração. As solicitações resultantes sobre o adesivo são função da geometria da junta. Na maior parte dos casos das cargas reais e condições ambientais, os componentes unidos por adesão comportam-se de maneira linearmente elástica. Contudo, o adesivo propriamente dito pode apresentar comportamento viscoelástico ou não linear. A análise exata para o problema da distribuição de tensões na área de união é complexa. Portanto, os estudos existentes se baseiam em determinadas hipóteses simplificadoras em termos do modelamento do adesivo e dos componentes unidos por adesão.

Na análise de cisalhamento diferencial feita por Volkersen, assume-se que o adesivo se deforma apenas por cisalhamento, enquanto os componentes unidos pelo adesivo se deformam apenas por tração⁽⁴⁾. As consequências da rotação dos componentes unidos por adesão foram levadas em conta pela primeira vez por Goland e Reissner⁽⁵⁾. Esses autores derivaram equações para determinar as tensões de cisalhamento e normais na camada da união, bem como as que se encontravam nas placas unidas, assumindo que as tensões de descascamento e de cisalhamento eram constantes ao longo da espessura do adesivo. No trabalho de Cornell⁽⁶⁾ foi apresentada uma variação e uma extensão do método de Goland e Reissner para a determinação das tensões em juntas adesivas de sobreposição. O autor assumiu que as duas placas na junta de sobreposição agiam como vigas simples, sendo a camada de adesivo, mais elástica, representada por um número infinito de molas sob cisalhamento e tração. Foram deduzidas equações diferenciais que descreviam a transferência de carga a partir de uma viga, por meio das molas, até a outra viga. A partir da solução dessas equações diferenciais se obteve uma análise razoavelmente completa das tensões existentes na junta de sobreposição.

Ojalvo e Eidinoff⁽⁷⁾ apresentaram os resultados de uma investigação analítica da influência da espessura da união sobre a distribuição de tensões em uniões adesivas simples de sobreposição. O trabalho estendeu a abordagem básica para a de uniões adesivas, a qual havia sido introduzida originalmente por Goland e Reissner, pelo uso de uma equação de deslocamento/ deformação por cisalhamento mais completa para a camada adesiva. O trabalho revelou diversos fenômenos interessantes sem incorporar nenhuma complicação significativa à análise. Delale e outros⁽⁸⁾ analisaram um problema geral de deformação plana de estruturas unidas por adesivo, as quais consistiam em dois componentes ortotrópicos diferentes unidos por adesão. Foram levados em conta tanto os efeitos da tensão de cisalhamento transversal sobre os componentes unidos por adesão, como a deformação normal no plano do adesivo. A solução foi obtida assumindo-se relações lineares entre tensão e deformação para o adesivo. Foi então constatado que os valores de pico de cisalhamento, bem como aqueles relativos à tensão normal no adesivo, situaram-se nas bordas da região de sobreposição. Rossettos e outros⁽⁹⁾ estabeleceram as equações de governo para uma junta de sobreposição em degrau com um vazio, usando um modelo modificado de cisalhamento diferencial, no qual o adesivo podia apresentar deformações tanto de alongamento como de cisalhamento. O modelo considerou a deformação axial quadrática por meio da espessura do adesivo. O objetivo deste trabalho foi apresentar um modelo analítico para prever as distribuições de tensões dentro de uma viga sob tração unida por adesão por meio de sobreposição simples. Este modelo é um desenvolvimento do modelo de Volkersen⁽⁴⁾, no qual foi feita a análise de cisalhamento diferencial. As derivações são similares às feitas por Goland e Reissner⁽⁵⁾, mas a geometria empregada aqui foi diferente. Pode-se obter o sistema global de equações de processo pela combinação das equações de governo de cada componente unido por adesão com a cinemática da junta. Foi assumido que os dois componentes unidos com adesivo e o próprio adesivo encontram-se na condição de deformação plana, e que as tensões no adesivo eram uniformes ao longo de sua espessura. A distribuição de tensões no adesivo, em sua direção longitudinal, foi determinada adotando-se condições de contorno adequadas.

 

Formulação do problema

A figura 1 mostra o sistema de coordenadas usado neste estudo; ‘x’ e ‘z’ são as coordenadas, enquanto ‘u’ e ‘w’ representam os deslocamentos. Uma viga unida por sobreposição simples encontra-se mostrada na figura 2. O comprimento da união é igual a ‘2.c’. Considerou-se que os dois componentes unidos por adesão apresentam valores idênticos de espessura ‘t’ e de comprimento (l + 2.c). Os pontos ‘a’ e ‘b’ indicam o centro das duas bordas livres da viga unida por sobreposição simples. A espessura do adesivo era igual a η. Foi assumido que a largura da união era muito maior em comparação com a espessura dos componentes unidos por adesão. Se o sistema for agora carregado pela força de tração T por unidade de largura do componente unido por adesão nos pontos ‘a’ e ‘b’, a linha de ação das forças será ‘aob’.

Fig. 1 – Sistema de coordenadas

Foram introduzidos dois sistemas de coordenadas (x₁, z₁) e (x₂, z₂), conforme se pode observar na figura 2, para estudar a deformação do sistema. O primeiro sistema foi usado para analisar o comportamento sob carga do componente no lado esquerdo unido por adesão. A coordenada x1 tem sua origem no ponto ‘a’, se estende ao longo do eixo longitudinal da peça unida por adesão, e é positiva no lado direito. Já w1 representa a deformação transversal do componente unido por adesão a partir da condição não-carregada e é positiva para cima. Uma definição similar foi feita para (x₂, z₂) com referência à junta.

Fig. 2 – Uma viga unida por meio de sobreposição simples

Se M₁ for igual ao momento de flexão no componente unido por adesão na estação x₁ e M₂ for igual ao momento de flexão na junta na estação x₂, ambos por unidade de largura, então:

Uma vez que η << t e t << l, a equação (1) pode ser simplificada usando-se uma série de Taylor:

onde D₁ e D₂ representam a rigidez sob flexão do componente unido por adesão e da junta, respectivamente.

A partir de (3) e (4) tem-se:

A partir das quatro condições de contorno:

As duas equações anteriores, (5) e (6), possuem soluções do tipo:

onde [5]:

 

Distribuições de tensão na camada adesiva

A figura 3 mostra elementos dos componentes superior e inferior unidos por adesão. M, V e T são os momentos de flexão, cisalhamento vertical e tração axial nos componentes unidos por adesão, respectivamente.

 

Fig. 3 – Diagrama de corpo livre da junta com camada adesiva

Os subscritos ‘u’ e ‘l’ designam os parâmetros relativos ao componente unido por adesão superior e inferior, respectivamente. σ 0 e τ 0 são as tensões transversal normal e de cisalhamento, respectivamente. As condições para o equilíbrio de momentos para os elementos dos componentes unidos por adesão são:

As condições para equilíbrio das forças verticais dos elementos dos componentes unidos por adesão são:

As deflexões transversais dos componentes superior e inferior unidos por adesão são respectivamente denotadas por ν_u e ν_l, ambos medidos com sinal positivo para cima. Então, a teoria das placas finas estabelece que:

onde E e ν são, respectivamente, o módulo de Young e a razão de Poisson dos componentes unidos por adesão. D1 se refere à rigidez sob flexão dos componentes unidos por adesão.

Os deslocamentos longitudinais dos componentes unidos por adesão nos limites de adesão adjacentes ao adesivo são denotados por u_u e u_l. Então, a partir das relações entre tensão e deformação,

E_ad e G_ad se referem aos módulos de Young e de cisalhamento, respectivamente, do material adesivo. Assim:

Combinando-se as equações de (10) a (14) e diferenciando a equação (15) tem-se:

As condições de contorno podem ser escritas como:

A partir de (8) e (9) tem-se:

Com base nas equações diferenciais (16) e (17) e nas condições de contorno, tem-se então que as distribuições de σ0 e τ0 no adesivo são obtidas na forma

Onde

Se os materiais e a espessura dos componentes unidos por adesão forem diferentes, então a equação (17) se torna uma equação diferencial de sétima ordem. É óbvio que o modelo analítico é muito complexo e somente as distribuições de tensão na direção longitudinal do adesivo serão determinadas. Além disso, na realidade, as tensões adesivas não são ao longo da espessura. Em outras palavras, as simplificações restringiram os resultados. Normalmente, quando se consideram diferentes condições de contorno em uma análise de forma fechada, a limitação existente é definida pela facilidade de tratamento de um modelo matemático realista dentro de uma solução algébrica. Pode-se empregar a análise por elementos finitos para superar essa limitação.

 

Conclusão

Foi apresentado neste trabalho um modelo analítico para prever as distribuições de tensões dentro de uma viga sob tensão unida por adesão por meio de sobreposição simples. Pode-se obter o sistema global de equações de governo efetuando-se a combinação das equações de governo de cada componente unido por adesão com a cinemática da junta. Foi assumido que ambos os componentes unidos por adesão, bem como o adesivo, encontravam-se sob condição de deformação plana e que as tensões no adesivo eram uniformes ao longo de sua espessura. A distribuição de tensões na direção longitudinal do adesivo foi determinada pela adoção de condições de contorno adequadas.

 

Conflito de interesses

Os autores deste trabalho declaram que não houve conflito de interesses no tocante à publicação deste trabalho.

 

Agradecimentos

Este estudo foi parcialmente apoiado pelo Programa Especial do Ministério da Ciência e Tecnologia da China (Bolsa n° 2012ZX04012-031).

 

Referências

1) He, X. A review of finite element analysis of adhesively bonded joints. International Journal of Adhesion and Adhesives, vol. 31, no. 4, 2011, p. 248–264.

2) He, X.; GU, F.; BALL, A. Fatigue behaviour of fastening joints of sheet materials and finite element analysis. Advances in Mechanical Engineering, vol. 2013, Article ID 658219, 9 pages, 2013.

3) He, X. Finite element analysis of torsional free vibration of adhesively bonded single-lap joints. International Journal of Adhesion and Adhesives, vol. 48, 2014, p. 59–66.

4) Volkersen, O. Die Nietkraftverteilung in Zugbeanspruchten Nietverbindungen mit Konstanten Laschenquerschnitten. Luftfarhtforschung, vol. 15, 1938, p. 41–47.

5) Goland, M.; Reissner, E. Stresses in cemented joints. Journal of Applied Mechanics, vol. 11, 1994, p. A17– A27.

6) Cornell. W. Determination of stresses in cemented lap joints. Journal of Applied Mechanics, vol. 20, 1953, p. 355–364.

7) Ojalvo, I. U.; Eidinoff, H. L. Bond thickness effects upon stresses in single-lap adhesive joints. AIAA Journal, vol. 16, no. 3, 1978, p. 204–211.

8) Delale, F.; Erdogan, F.; Aydinoglu, M. N. Stress in adhesively bonded joints: a closed-form solution. Journal of Composite Materials, vol. 15, no. 3, 1981, pp. 249–271.

9) Rosse t tos, J. N.; Lin, P.; NayebHa shemi, H. Comparison of the effects of debonds and voids in adhesive joints. Journal of Engineering Materials and Technology, vol. 116, no. 4, 1994, p. 533–538.